多項式插值運算

    歡迎到我的網站看數學文章  https://mathisinteresting56912011.blogspot.tw/2016/09/blog.html


       我們在高一數學(上)第2章有關多項式的運算及應用，常會看到以下的問題:

      已知有三次多項式 f(x)  其中 f(1)=7 ,f(2)=6 ,f(3)=11,f(4)=28  則求f(5)=?

      通常看到課本會有兩種求法，其中一種是拉格朗日插值法，一種是牛頓插值法。

     其中，牛頓求值法比較快。有關前述方法，請看課本，在此不贅述。

      除此之外，就沒有其它方法嗎???



  (思考一)


    解:)  這題目，並不是要我們求出該f(x)，而是求出f(5)

            所以利用下列(我稱為倒三角形的數列相減法):

                  7         6        11         28         63

    (1)              -1        5          17          35

    (2)                    6         12         18 

    (3)                        6             6

   因為多項式是三次，必須求到第3列的差值。

             所以f(5)=63     

    這方法比上述兩種方法快很多，我在高中時就發現到了 ，但這種方法是有限制的

     也就是，題目給的f(x)的多項式值，其x值必須是等差數列，例如本題是1,2,3,4

      
(思考二:) 如果題目也是給定等差數列的多項式值，但是要求出中間項的多項式值，

                 則上述方法有效嗎?  答: 有效，但比較麻煩，但不會比前述插值法慢

       例如:

              已知有三次多項式 f(x)， 其中 f(1)=3 ,f(2)=15 , f(3)=35, f(5)=123 ，則求f(4)=?

        解:)  依序排列，假設f(4)=x。

                                  3           15            35           x           123    

(1)                                 12            20        (x-35)     (123-x)

(2)                                          8        (x-55)      (158-2x)

(3)                                              x-63       213-3x

    則因為 (x-63)=(213-3x)   所以x=69   

進階思考:

(思考三) 好了! 除此之外有沒有其他好想的呢?? 當然有，我如果列一三次多項式的函數值

      例如，f(1)=3, f(2)=5 ,f(3)=9 ,f(4)=23 ，但要求出該該多項式的最高項次的係數，
                 
             那如何算呢??

   解:) 你會說，那就把該多項式求出，然後就可得知了呀!  是沒錯啦! 但根據上面

          (思考一)及(思考二)，你如果將該兩個例子求出該多項式(雖然題目並沒有要求出)
       
          你會發現有趣的現象喔。

           例如(思考一)求出的多項式為 x^3-3x^2+x+8  ，該最高項次的係數為1

           而在(思考二)求出的多項式為 x^3-2x^2+11x-7  ，該最高項次的係數也是1

           你會說這有何稀奇的呢?? 但你如果比對出在上面兩個倒三角形的數列相減過程

           你會發現喔! 在該兩個倒三角形的最末列(也就是標示(3)的那一列，其數值都是6耶)

           這難道是巧合嗎??

           數學的有趣，就在於把平常看起來是巧合的東西，透過分析把它挖掘出來，成為某種公

            式，或定理，以提供後面的晚輩，利用該定理或公式，找到宇宙中的規律!

           例如: 哈雷彗星為何每76年就會經過地球一次? 就是克卜勒及牛頓利用規律找到的呀

     

         好了! 那我們假設該最高係數是與倒三角形的最末列數字有關好了! 可不可以確認他們
 
           的相關性呢?

          分析:) 假設有一三次多項式是2*x^3-2*x^2+x+1，我們來看看其f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)
                 
　　　　　的相差過程。

　f(x)                       2     11    40     101   206

    (1)                           9      29     61      105    　　　　　　　　　　　

    (2)                              20      32      44

    (3)                                   12      12 

  耶! 不是都是應該是6嗎? 這次為何是12呢?? 有何差別呢?? 你會發現到這次多項式是

     2*x^3-2*x^2+x+1，也就是最高項次的係數是2喔!!

      也就是最高項次的係數是1的話，則會得到6，最高項次的係數是2的話，則會得到12

      BINGO!  ，這跟最高項次的係數是有關的喔!(某種猜測)

     那我們現在來把(思考三)的題目，分別求出該多項式再找出該最高項次的係數值
   ，或者利用我剛說的倒三角形最末列的數值法，看有沒有一樣??

     解:)因題意是說  f(1)=3, f(2)=5 ,f(3)=9 ,f(4)=23

        所以假設該f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+3

            得到a=4/3  -----最高項次的係數。

　　那如果用倒三角形的數列相減法，是不是也可以得出呢??

                3         5         9          23

(1)                  2          4        14

(2)                        2          10

(3)                              8

   有沒看到，這次是得到8，這8剛好除以6=4/3  ------>最高項次的係數。

    你可以用我說的方法，去比對多項式的數列與該最高項次係數的關係喔!!